Una de las características más interesantes del cerebro humano es su capacidad de extraer principios generales de casos específicos. Según muchos filósofos y psicólogos, la generalización es un aspecto importante de la cognición, nutriendo y expandiendo los poderes de pensamiento del cerebro al mismo tiempo. El filósofo alemán Hegel lo expresó de la siguiente manera: "Una idea es siempre una generalización, y la generalización es una propiedad del pensamiento. Generalizar significa pensar "(de The Philosophy of Right , 1821).
Tal vez el aspecto más estimulante de la resolución de acertijos es el hecho de que, a menudo, un género de acertijo particular nos estimula a buscar algún patrón general oculto o principio estructural inherente en las diversas versiones del rompecabezas. En este blog, es el conocido género de acertijos "coincidentes" que se usarán para mostrar cómo se desarrolla esta capacidad innata del cerebro, una capacidad que está presente en todos nosotros, incluso en los que no les gusta la resolución de acertijos.
Comencemos con un rompecabezas simple de este tipo:
En una caja hay 20 bolas de billar, 10 blancas y 10 negras, desparramadas al azar en la caja. Todos sienten lo mismo. Con la venda de los ojos vendados, ¿cuál es la menor cantidad de bolas que debes sacar para obtener un par de bolas que coincidan en color: es decir, dos bolas blancas o dos bolas negras?
Muchos recién llegados a este tipo de rompecabezas tienden a razonar algo a lo largo de las siguientes líneas:
Si la primera bola que saco es blanca, necesitaré otra blanca para que coincida. Pero la siguiente bola podría ser negra, como podría ser la siguiente, y la siguiente, y así sucesivamente. Entonces, para asegurarme de obtener una coincidencia, debo (en principio) eliminar todas las bolas negras de la caja-10 en total. El siguiente que retire después de eso será necesariamente blanco, ya que ese es el color de las bolas que quedan en la caja. Incluyendo la primera bola blanca que saqué, las diez bolas negras que tuve que quitar, y la bola blanca que finalmente encaja, 12 es el número mínimo de bolas que necesitaré sacar.
Sin embargo, esta línea de razonamiento no logra comprender qué es lo que el rompecabezas realmente requiere que haga uno: hacer coincidir el color de dos bolas, no solo el color del primero, que resultó ser blanco. El razonamiento correcto es como esto. Supongamos que la primera bola que saca es de hecho blanca. Si tienes suerte, la próxima bola que dibujes también será blanca, ¡y se acabó el juego! Pero no puedes asumir este escenario basado en la suerte. Debes, por el contrario, asumir el peor de los casos, es decir, que la siguiente bola que saques sea negra. Por lo tanto, después de dos sorteos, habrá sacado una bola blanca y una negra de la caja, en el peor de los casos. Obviamente, podrías haber sacado una bola negra primero y una blanca un segundo. El resultado final hubiera sido el mismo: una bola blanca y una negra después de dos sorteos.
Ahora, aquí está el quid de la solución: la próxima bola que saque de la caja será, por supuesto, blanca o negra. No importa de qué color sea esta tercera bola, coincidirá con el color de una de las dos ya extraídas. Si es blanco, coincidirá con la bola blanca fuera de la caja; si es negro, coincidirá con la bola negra fuera de la caja. A continuación, tendrá un par de bolas de color a juego. Por lo tanto, la menor cantidad de bolas que necesitará sacar de la caja para garantizar que un par de bolas coincidan es tres .
A continuación, agreguemos un color a la mezcla.
En una caja hay 30 bolas de billar, 10 blancas, 10 negras y 10 rojas desparramadas al azar en la caja. Nuevamente, todos sienten lo mismo. Con la venda de los ojos vendados, ¿cuál es la menor cantidad de bolas que debes extraer esta vez para obtener un par de bolas que coincidan: es decir, dos bolas blancas o dos negras o dos rojas?
De nuevo, aumentemos la mezcla de colores en uno más.
En una caja hay 40 bolas de billar, 10 blancas, 10 negras, 10 rojas y 10 verdes esparcidas al azar en la caja. Nuevamente, todos sienten lo mismo. Con la venda de los ojos vendados, ¿cuál es la menor cantidad de bolas que debes sacar para obtener un par de bolas que coincidan: es decir, dos bolas blancas o dos bolas negras o dos bolas rojas o dos bolas verdes?
Vamos a aumentarlo una última vez.
En una caja hay 50 bolas de billar, 10 blancas, 10 negras, 10 rojas, 10 verdes y 10 azules esparcidas al azar en la caja. Nuevamente, todos sienten lo mismo. Con la venda de los ojos vendados, ¿cuál es la menor cantidad de bolas que debes sacar para obtener un par de bolas que coincidan: es decir, dos bolas blancas o dos bolas negras o dos bolas rojas o dos bolas verdes o dos bolas azules?
En este punto, ¿ves un patrón? ¿Qué es? ¿Cambiar el número de bolas de un color cambia el patrón? Es decir, ¿qué sucede si el número de bolas en el último rompecabezas es 10 blancas, 9 negras, 6 rojas, 4 verdes y 1 azul ?
Aquí hay una versión interesante y más complicada de este tipo de rompecabezas:
Si hay 6 pares de zapatos negros y 6 pares de zapatos blancos en una caja, todos mezclados, ¿cuál es el menor número de sorteos que debe hacer con los ojos vendados para asegurarse de tener un par de zapatos negros o blancos a juego?
Para concluir, creo que uno de los aspectos más importantes de la resolución de acertijos es su capacidad de estimular y mejorar espontáneamente los procesos de generalización. Parece que el cerebro humano no puede detenerse en lo particular, pero está programado para extraer principios de estructura general o diseño en la información que procesa. Como el historiador inglés Thomas Babington Macaulay Observado en la Revisión de Edimburgo de 1825, "La generalización es necesaria para el avance del conocimiento". Resolver acertijos como los presentados aquí puede mostrar por qué esto es así y por qué es tan natural para nosotros.
Respuestas
El razonamiento para la versión de 30 bolas y tres colores es el mismo. Empiezas asumiendo el peor de los casos. ¿Que es eso? Está dibujando tres bolas de tres colores diferentes: blanco, negro y rojo. Ahora, la cuarta bola que dibujes, sin importar de qué color sea, coincidirá con uno de los tres colores fuera de la caja, ya que solo puede ser blanca, negra o roja.
El razonamiento para la versión de 40 bolas y cuatro colores es exactamente el mismo. Empieza asumiendo el peor de los casos, que consiste en dibujar cuatro bolas de cuatro colores diferentes: blanco, negro, rojo y verde. La quinta bola que extraigas, sin embargo, coincidirá con una de estas cuatro fuera de la caja.
Huelga decir que el razonamiento para la versión de 50 bolas y cinco colores también es el mismo. Empiezas asumiendo el peor de los casos. Para esta versión, esto consiste en dibujar cinco bolas de cinco colores diferentes: blanco, negro, rojo, verde y azul. La sexta bola que extraigas, sin embargo, coincidirá con una de estas cinco fuera de la caja.
¿Cuál es el patrón general? Cuando hay dos colores de bolas en la caja, necesitamos tres sorteos para obtener un partido; cuando hay tres, necesitamos cuatro sorteos; cuando hay cuatro, necesitamos cinco; cuando hay cinco, necesitamos seis. Este patrón continuará y seguirá porque el razonamiento es el mismo en todos los casos. El patrón es, simplemente, que se requiere un sorteo más que el número de colores para garantizar que se extraiga un par de bolas del mismo color.
Cambiar el número de bolas de los colores no cambia el patrón de solución. Este es el por qué. Digamos que hay 10 blancos y solo 1 negro en la caja. En el peor de los casos, aún sacará 1 blanco y 1 negro. Sin embargo, el tercer sorteo necesariamente producirá una bola blanca, que es el único color de las bolas que queda dentro de la caja, para que coincida con la bola blanca ya extraída. El mismo tipo de razonamiento se puede usar una y otra vez. Entonces, la regla general permanece, no importa cuántas bolas estén involucradas para cada color.
La respuesta al problema del calzado es 13. Hay 24 zapatos en total en la caja: 6 pares de zapatos negros = 12 zapatos negros; 6 pares de zapatos blancos = 12 zapatos blancos. De los 24, la mitad corresponde al pie derecho y la otra mitad al izquierdo. En el peor de los casos, podríamos elegir los 12 zapatos con el pie izquierdo (6 negros y 6 blancos) o los 12 zapatos con el pie derecho (6 negros y 6 blancos). El decimotercero zapato dibujado, sin embargo, coincidirá con uno de estos doce.
Más específicamente, supongamos que hemos sacado los 12 zapatos con el pie izquierdo: 6 negros y 6 blancos. El decimotercer sorteo solo puede producir un zapato de ajuste en el pie derecho porque ya no quedan zapatos con el pie izquierdo en la caja. Y, por supuesto, puede ser negro o blanco. En cualquier caso, será un color coincidente. Supongamos que hemos sacado los 12 zapatos con el calzado adecuado: 6 negros y 6 blancos. El decimotercer sorteo solo puede producir un zapato de ajuste en el pie izquierdo porque ya no quedan zapatos con el pie derecho en la caja. Y será negro o blanco. En cualquier caso, será un color coincidente.
