Tiempo óptimo para la recaudación de fondos y la escritura de subvenciones

Preparé este tema en mi camino al trabajo en el metro. Mis colegas y yo a menudo discutimos cosas como cuánto tiempo debería dedicar a una beca. ¿Cuántas becas debo escribir por año? ¿Hay un compromiso de tiempo óptimo? ¿Cuánto vale mi tiempo? Decidí hacer estas matemáticas un poco más rigurosamente y ver qué pasa. Supongo que tengo un conocimiento práctico del cálculo de AP de la escuela secundaria, a excepción de la sección de subvenciones múltiples: háblame directamente si quieres trabajar en eso.

Una búsqueda superficial no revela mucho sobre este tema en el econ lit (JSTOR / Google scholar) …

Obtener una subvención individual

Digamos que la probabilidad de obtener una subvención es p , y el valor de una subvención es V , y el tiempo que se tarda en obtenerla es t . El valor esperado de obtener la concesión E = pV y por unidad de tiempo es pV / t . Muy sencillo. La parte posterior del cálculo envolvente para una subvención de proyecto de investigación NIH es de 250k por año, y digamos que de verdad pasa 10 horas escribiendo un R01 por año, asumiendo de forma muy conservadora la tasa de financiación del 10%, el valor esperado por hora de el dinero recaudado es de $ 2500. Esto muestra que la recaudación de fondos es probablemente la actividad más valiosa en términos de dólares y centavos, si puede limitar el número de horas que pasó haciéndolo.

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De hecho, aumentar el número de horas para una sola subvención es muy ineficiente:

(1)

Vemos que la disminución del valor esperado va como un cuadrado de tiempo dedicado a la concesión, en lugar de la concesión en sí misma.

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Sin embargo, muchos podrían oponerse, ¿y si para mejorar una concesión, necesitamos dedicarle más tiempo? Argumento justo: p es una función del tiempo. Podemos hacer un modelo muy fácil de esta relación, ya que si obtienes una subvención es un resultado binario, p puede ser simplemente una función logística y la insertas en la función de valor esperado y tomas la derivada:

(2)

Usted ve que todavía generalmente va en cuadrado negativo de t . El movimiento de la función logística es bastante recto en el medio, que es donde la mayoría de nosotros permanece (lanza una moneda):

Obtuve esta función jugando con los parámetros, pero las unidades son más o menos correctas: y es el valor de p y t es el número de horas. Puede objetar a esta función que parece demasiado alta en un número máximo de horas, pero recuerde que no estamos modelando otras partes de p, como la "capacidad de innovación" de la subvención y otras cualidades intrínsecas de la ciencia de la subvención sin relación con la forma Cuánto tiempo pasas en eso

Trazando la función de valor esperado por unidad de tiempo ahora:

Vemos que hay una cantidad óptima de horas que uno debe gastar en una opción de concesión (t) que está entre 10 y 15. Tratemos de resolverlo:

Wolfram Alpha me dice:

(5)

donde Wn es la "función de producto de registro de continuación analítica". Lo que sea que eso signifique … irrelevante. Lo que es relevante es esa nota (si puedes leerla) opt (t) no está relacionada con el valor de la concesión. Es decir, el momento óptimo que debe gastar en una subvención si solo está considerando la subvención en sí, no debe verse influido por el valor de la subvención, sino únicamente por la forma en que su esfuerzo se traduce en una mayor probabilidad de financiación (es decir, coeficiente k ) y el número mínimo de horas que una concesión requiere ( t0 )

Por supuesto, esto supone que V en sí mismo no está relacionado con t: es decir, el tamaño de la concesión no se relaciona con cuánto esfuerzo se necesita para escribirlo. Este es a menudo el caso en mi experiencia, pero deberíamos dejar que los datos hablen. Aproximadamente el número de página corresponde a las horas necesarias. NARSAD = 2 páginas, R23 = 6 páginas, R01 = 12 páginas:

Parece que es más como un cuadrado y no como un exponencial … Tracé algunas de estas funciones (no se muestran aquí). La intuición es la siguiente: si los valores de la concesión no dependen del tiempo pasado, después de una cierta cantidad de tiempo invertido, su retorno por hora realmente disminuye. (fig 2) Si el valor de su subvención se escala linealmente con el tiempo (es decir, simplemente escribiendo un R01 después de otro), hay un aplanamiento de valor por unidad de tiempo después de un cierto "esfuerzo mínimo aceptable" (fig 1). Si el valor de su subvención varía en polinomio, el valor invertido de su tiempo en realidad aumenta por unidad de tiempo dedicado a la escritura de subvenciones (no se muestra la trama, solo confíe en mí). Desafortunadamente, el escalado de valor por tiempo no aumenta por cuadrados (es decir, no puedo escribir una subvención de 24 páginas y obtengo 4 millones …), y en algún momento todo es escalar de valor lineal a tiempo.

Conclusión: escribe R01 si puedes. Si puede escribir subvenciones U o P grandes, escríbalas.

Múltiples subvenciones

Entonces, ¿por qué nuestra intuición es tal que opt (t) debería verse afectada de maneras complejas por el valor de las subvenciones? Esto solo ocurre cuando uno escribe múltiples concesiones. La matemática es algo como esto. Supongamos que uno escribe N subvenciones, indexadas por i. El valor total esperado sería:

Suma i, (Ei)

Esto se vuelve complicado rápidamente porque se necesita hacer una optimización multivariante restringida donde

max (Sum i, (Ei)), con restricción de que Sum (i, ti) = T

T es el tiempo total que tiene disponible para escribir subvenciones.

Es necesario identificar un esquema de asignación de tiempo óptimo ti = f (Vi + otras variables) de modo que este esquema sea óptimo al máximo en todo el conjunto posible de tales esquemas de asignación.

Aquí es donde puedes escribir un papel. Aquí está el bosquejo del documento: puede modelar el esquema de asignación primero como una función lineal (es decir, ti = WV , donde W es la matriz de ponderación dada para la matriz de valor de concesión), y derivar una fórmula resolviendo para la matriz inversa. Luego generalizas esto a un tipo específico de asignación (es decir, digamos modelar f como un tipo de función diferenciable continua), y luego haces un cálculo variacional para resolver la forma de f . Finalmente, puede probar algunos resultados asintóticos / de existencia: ¿siempre obtiene una asignación óptima única, siempre obtiene el mismo valor esperado en la optimización, las propiedades de los extremos locales, etc., etc. un montón de detalles aburridos.

Algunos pensamientos prácticos

Primero, ¿los investigadores académicos reciben un pago justo? Vemos que por hora el fondo recaudado es de aproximadamente $ 2500- $ 15000. Los cálculos de la parte posterior del sobre muestran que si cada año uno se mantiene en un R01, su valor real esperado de dinero recaudado es solo de aproximadamente 250k * 0.1 = 25000. Incluso si usamos una tasa de financiamiento muy generosa del 20% en vez del 10%, solo puede esperar un valor de 50k por año. Dado que el diferencial salarial entre el postdoc y el PI es algo cercano a ese número, la "comisión" dada a un PI con un único R01 como porcentaje es extremadamente alta. Así que este ejercicio realmente muestra la razón por la cual los profesores no reciben mucho pago se debe principalmente al hecho de que los profesores (a diferencia de los inversores) simplemente no pueden recaudar tanto dinero, lo cual tiene mucho sentido (es decir, no generamos ganancias). -generamos conocimiento que a veces no tiene un valor monetario obvio). Pero esto también muestra que las universidades se encuentran en una situación difícil porque realmente no hay mucho más que ofrecer si su salario es pura y simple.

Como que quiero diseñar una calculadora para recaudar fondos que te permita ganar el premio en dólares, tu número total de horas disponibles para escribir una subvención (o cualquier tipo de oportunidad de recaudación de fondos) y la tasa de financiación, y te diga cuál es el dólar esperado recaudado por hora sería, para permitirle tener una idea de si vale la pena solicitar algo o no. Apuesto a que esto también es útil para los jefes de departamento.

Por cierto, esto no se trata solo de solicitudes de subvención. Se trata de cualquier tipo de problema de asignación de crédito con un riesgo intrínseco (es decir, las matemáticas de la recaudación de fondos en general). La formulación más generalizada está tratando de calcular la frontera eficiente de la asignación de tiempo para el rendimiento arriesgado, pero como el valor monetario del tiempo no es muy lineal, simplemente estoy derivando alguna intuición usando cálculos muy simplificados.